Tezliklə

Simmetriya, Anti-simmetriya və simmetriya qırılması I


Kainat nümunələrini şərhlərində canlıların sayılmasına ehtiyac var. Homo sapiens sapiens (Hoss) üçün bənzərsiz deyil, ancaq bu növ ən sadə şeylər üçün sonsuz imkanların olduğunu bilmək üçün bilinən yeganədir.

Natural ədəd N sadə saymalar üçün bir modeldir:

N = {0, 1, 2, 3, ...}.

Sadə sayma prosesi natural ədədlərlə iki əməliyyatı əhatə edir, yəni "+" əlavə edilməsi və "vurma"×" Yəni əsas hesablama sistemi iki sistemdən ibarətdir. Aşqar sistemində fərqlənən element “0” (sıfır), multiplikativ sistem isə “1” (bir) elementə malikdir.

Deyirik ki, áN, +, 0ñ və áN, ×, 1lər monoiddir, yəni hər ikisi də istismar üçün neytral bir elementə malikdir.

the + 0 = the = 0 + the,

the ×1 = the = 1× the

hər hansı bir element üçün the N.-da

Əlavə əməliyyat Hoss növlərinin həyata keçirdiyi saymalardan gəlir, lakin vurma əməliyyatı daha az təbii olur. Təkrar terminlərin əlavə edilməsini, yəni düşüncənin, vaxtın, məkanın və s. Qənaət ölçüsü olaraq, Hoss nümunələri çoxaltmağı icad etdi. Beləliklə, başlanğıcda əlavə və vurma arasında bir asimmetriya olduğunu görürük. Lakin, əlavə, vurucu monoidlər áN, +, 0ñ və áN, ×, 1-nin oxşar cəhətləri var.

Məsələn, hər ikisi yarı qrupdur, yəni hər ikisi assosiativ mülkü təmin edir:

the + (b + c) = (the + b) + c,

the × (b × c) = (the × b) × c

hər hansı bir element üçün the, bc N.-dan.

Keçid zamanı əlavə və vurma əməliyyatlarının yaxşı birləşdiyini, yəni vurma ilə vurma ilə təbii olaraq paylandığını müşahidə edirik:

the × (b + c) = the × b + the × c

Buna görə də bu iki yarımqrupun vahid və daha böyük bir yarımqrup meydana gətirmək üçün bir araya gələ bilməyəcəyini soruşmaq təbiidir.

Dərhal ortaya çıxan başqa bir sual: kainatda başqa bir təbii yarı qruplar varmı?

Hossun hər hansı bir nümunəsi bu tədqiqatı etmək istəsə, o nə edə bilərdi?

Yalnız mücərrəd bir şəkildə araşdırma yolu tapmaq çətindir. Buna görə də tarixi yol olan mümkün yollardan birini izləyək.

Hoss riyaziyyatçıları tənliyi həll edə bilmədilər x + the = 0, yarım qrupda áN, +, 0ñ. Problemin bu yarı qrupda simmetriyanın olmaması olduğunu tapdılar. Bunu həndəsi olaraq natural ədədləri bir xətdə təmsil etməklə müşahidə etmək olar. Xallar hamısı yalnız bir tərəfdədir sıfırdan, Başqa sözlə, yarı düz xəttin içində bütün natural ədədlər ola bilər və beləliklə düz bir xəttin həddindən artıq yarısı var.

Kainatdakı digər yarım qrupların mövcudluğunu araşdırmağa davam etmək üçün bir fikir gözlənilmədən ortaya çıxdı. Tənlikləri həll etməyə cəhd edə bilərsiniz və kainatda daha çox yarım qrup tapmaq üçün bir yol olaraq əldə edilən yeni ədəd dəstlərini həndəsi olaraq təmsil edə bilərsiniz.

Hoss qondarma riyazi nümunələri natural ədədlərin mənfi cəhətlərini necə yaratdı. Təbii ədədlərin həndəsi təsviri simmetrik oldu və növün hər tənliyi oldu x + the = 0 mənfi doğuşlarla həll edilə bilər.

Hamısı təbiithe"İndi mənfi var" - the"Buna görə də bizdə:

x + the = 0 Þ (x + the) + (-the) = 0 + (-the) Þ x + (the + (-the)) = -the Þ x + 0 = -the Þ x = -the.

Yeni yarıma qrupu z, +, 0ñ-dir, burada Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} tam ədədlər toplusu adlanırdı. Z hərfi Alman sözünün "zahlen" sözündən götürülmüşdür.

Hoss növlərinin zehni xətti və son dərəcə dinamik olaraq fəaliyyət göstərir. Eyni fenomen multiplikativ semigroup ilə baş vermədiyini soruşmaq dərhal, ×, 1-ci. Yəni analoq tənlik x×the = 1 də hal istisna olmaqla heç bir həll yolu yoxdur the = 1. Dərhal sual yarananda bir neçə təbii və maraqlı problem yaranır.

Çoxaltma yarı qrupunu uzatmaq üçün, ×, AZ-a, ×Riyaziyyatçıların aşağıdakı maraqlı problemləri həll etmələri lazım idi.

a) Mənfi tam ədədləri necə çoxaltmaq olar? Fikir, zaman və məkan iqtisadiyyatı əsasında çoxalma davam edərdimi? Məsələn, mənfi cəmi beş dəfə yekunlaşdırılarsa, mənfi cəmi bir dəfə mənfi bir nəticə verərdimi?

(b) İki yarım qrup necə bir quruluşda, məsələn, AZ, +, 0, ×, 1ñ?

(c) Hələ assosiativ mülkiyyətə dəyərmi?

Hoss növlərinin yaradıcılığı sadə bir həll icad etdi: e, n, +, 0ñ və an kimi yarı qruplar kimi ×, 1, təbii olaraq paylayıcı əmlak, yeni quruluş AZ, +, 0, ×1-də eyni qaydanı qəbul etməkdə problem olmayacaq və çoxalma düşüncə, vaxt və məkana qənaət etməyə davam edəcəkdir.

Ancaq ödəmək üçün bir qiymət var idi. Məsələn, bərabərliyi düşünün (1 - 1) × (1 - 1) = 0. Əgər assosiativ və paylayıcı xüsusiyyətlərə aiddirsə, deməli:

(1 - 1) × (1 - 1) = 0 Þ (1)×(1) + (1)×(-1) + (-1) ×(1) + (-1)×(-1) = 0 Þ 1 - 1 - 1 + (-1)×(-1) = 0

Þ - 1 + (-1)×(-1) = 0.

Təbii yarımqrupları genişləndirmək və tənliklər həll etmək arzusunu həyata keçirmək üçün ödəməyin bir qiymət olduğunu etiraf etmək olduğunu görürük (-1)×(-1) tam əksinə bir tam say olmalıdır.

İndi sonra (-1)×(-1) 1 olmalıdır. Ödənilməli olan borcun qalan hissəsi qəbul edilməsidir

(-the)×(-b) = the×b,

yuxarıdakı eyni əsaslandırmadan da göründüyü kimi. Buna görə, "mənfi zamanların mənfi olması müsbət olmalıdır".

Hər yeni doğulmuş bir ad layiqdir. Yeni quruluş z, +, 0, ×, 1, eyni mühitdə əlavə və çarpan təbii yarımqruplar yerləşdirən distributivañ, üzük adını aldı. Təbii yarımqrupdan daha çox simmetrik olsa da, tənlikləri həll etmək kifayət deyil. x×the = b.

Hossun sonsuz maraq dairəsi sonra tərs tam ədədləri icad etdi: hər tam thesıfırdan başqa çoxaltma tərs var the-1. Beləliklə daha geniş bir üzük ortaya çıxdı: áQ, +, 0, ×, 1, distributivañ, fraksiyaların halqası.

Q hərfi quotient sözündən gəldi, çünki ifadə b×the-1 kimi şərh edilmişdirb bölünür the", Yəni fraksiya olaraq b/the.

Deməli hər tənlik x×the = bilə the ¹ 0, halqa áQ, +, 0, həlli var ×, 1, paylayıcı:

x×the = b Þ (x×the)×the-1 = Þ x×(the×the-1) = b×the-1 Þ x×1 = b×the-1 Þ x = b×the-1.

Riyazi nümunələr tez-tez deyirlər ki, yarım qrup az, +, 0ñ bir qrupdur, çünki hamısı the tərs əlavəyə malikdir -a, və ya əksinə the. Eynilə, yarım qrup áQ, +, 0ñ da bir qrupdur.

ÁQ yarı qrupuna gəlincə, ×, 1, eyni demək olmaz, çünki 0-da çoxaltma tərs yoxdur. 0 tənliyi×the = 1-in 0 ¹ 1 olduğu kainatlarda həlli yoxdur, çünki 0×the = 0 hamısı üçün the.

Buna görə bu asimmetriya sabit ola bilməz, çünki 0 çoxaltma tərs ola bilməz, baxmayaraq ki, aşqarın tərsinə, əksinə, özüdür.

İndi sual təbii ki, q, +, 0, fraksiyalarının halqasının tutumu nədir ×, 1, distributivalar tənlikləri həll edir, çünki həndəsi təsvirləri simmetrikdir və xətti daha yaxşı doldurur?

Sütunlara qayıt

<

Video: Lineer Cebir Matris Çeşitleri Types of Matrices (Avqust 2020).