+
Tezliklə

Riyaziyyatda simmetriya II


Evklid xəttindəki nöqtələri (ibtidai məktəbdə tanıdığınız həndəsə xətti) ədəd kimi düşünmək maraqlıdır. Bu ixtira XVII əsr riyaziyyatında böyük bir inqilab üçün məsuliyyət daşıyırdı. Məşhur Karteziya koordinat fikiridir. Bununla rəqəmlərdən və cəbrdən istifadə edərək həndəsi problemlər barədə düşünə bilərik. Evklid xəttinin nöqtələri bu baxımdan cəbr quruluşunun elementlərinə çevrilir: həqiqi ədədlərin çox vacib quruluşudur. Əslində, Evklid xəttinin nöqtələrini, məsələn, cəbr quruluşu və ya bədən quruluşu kimi öyrənə bilərik (bu yazıda bədən tərifinə ehtiyac olmayacağıq). Əvvəlki sütunda iki həqiqi ədəd arasında "deşiklər" olacağını və ya eyni şəkildə Evklid xəttinin iki nöqtəsi arasında "boş yerlər" olacağını qeyd etdik. Riyaziyyatın hər bir ciddi şagirdi, əlbəttə ki, riyazi analiz üzrə yaxşı kitablarla təmasda olarsa bu problemlə üzləşir. Yaxşı kitablar vacib fikirləri sıraya qoyur və onların aydınlaşdırılmasına və məntiqi əsaslandırılmasına səriştəli rəftar verir. Burada bu fikirlərin bəzilərini intuitiv və qeyri-rəsmi baxımdan ifşa etməyə davam edəcəyik.
Fikir və anlayışlarda simmetriyanı "görmək" ehtiyacı, iki real rəqəm arasında "boşluğun dəhşətində" deyilə biləcək boşluqları "doldurmaq" cəhdinə səbəb olur. Dedekind kimi XIX əsrin son riyaziyyatçıları iki həqiqi ədəd arasında boş yerlərin olmaması üçün bir əsas tapdılar. İndi Evklid xəttini həqiqi ədədi xətt kimi təsəvvür edək.
Xallar da ədədlərdirsə, bu cəbrlərin hansı cəbri münasibətləri qane etdiyini soruşmaq qaçılmazdır. Məsələn, əvvəldə qeyd etdiyimiz kimi, Pifaqorlar 2-nin kvadrat kökü olan x2 - 2 = 0 tənliyinin həlli ilə üzləşdi və Dekartın nöqteyi-nəzərindən olmasa da, bu nöqtəni Evklid xəttində "necə yerləşdirmək" problemini kəşf etdi. min ildən sonra hər nöqtənin bir nömrəyə və hər bir nömrənin Evklid xəttinin bir nöqtəsinə uyğun gəldiyini açıqca "fərz edən" Pifaqorlar, məsələn, mənfi nömrələri bilmədiyi üçün xəttin sol tərəfinə sahib olmayacaqlar. Lakin Pifaqor Evklid xəttində yaxası 1 ölçülən sağ bucaqlı üçbucağın hipotenuz ölçüsünü ifadə etmək üçün bir nöqtə tapmadı. Dedekind-in əldə etdiyi ədədi düz xətt, sonra təbii olaraq bu tamamlama ilə hansı tənliklərin həll olunduğunu soruşa bilərik. X2 + 1 = 0 tənliyini dərhal xatırlayırıq. Bu tənliyin həlli üçün Evklid xətti üzərində bir nöqtə tapmaq üçün bir yol yoxdur. Çözümlərinizdən danışarkən, həll yollarınız nələrdir?
Yenə bir tarix, bir spiral şəklində olsa da təkrarlanır və indi hər iki həqiqi rəqəm arasındakı gizli simmetriyanı kəşf etməyə səbəb olan səviyyədəyik. İndi bizi şəxsiyyətini yenidən axtarmağa sövq edən gizli simmetriya sual ilə əsaslandırıla bilər: niyə x2 + 1 = 0 tənliyini həll edən "ədədlər" də olmamalıdır? "Simmetriya" üçün "həndəsi bir məkan", eyni zamanda bu tənliyin "ədədi həlli" olan "nöqtələri" olan Evklid xəttinin sahəsi də olmalıdır.
Bu gizli simmetriyanı davam etdirməyimiz üçün hansı ipuçları var? Simmetriya ideyası artıq böyük bir ipucu. Bütün polinomial tənliklərin ədədi həlli olması problemini simmetrik şəkildə həll edən bir nöqtə məkanının mövcudluğuna inansaq, onda bu məkanın necə olacağını izah etməyə başlayaq. Yəni əgər o varsa və "simmetriya istəyimizi" təmin etmək üçün ona "ehtiyac duyduğumuz" xüsusiyyətlərə sahibdirsə, artıq riyaziyyat dünyasında bu vəzifəyə bəzi namizədləri seçə bilmərikmi? Artıq başa düşdünüz ki, biz açıq-aşkar bir namizədin tərəfindəyik: Evklid planı. Evklid xətti bəzi çoxbucaqlı tənliklərin həllini təmsil edə bilsəydi, Evklid təyyarəsi bu məkanın təbii davamı ola bilməz və nöqtələri bütün çoxuşaqlı tənliklərin həllinə ümid etdiyimiz "ədədlər" deyilmi?
Tarixən bu asan deyildi. Bir çox böyük riyaziyyatçı bu dastanın müxtəlif vaxtlarında, açıq-aydın yuxarıda təklif etdiyimiz simmetriya nöqtəsinə sahib olmadan iştirak etmişdi ki, bu gün bu problemi sadə, vahid və ahəngdar bir şəkildə düşünək. -1-nin kvadrat kökü haradadır? Evklid xəttində ola bilməz, çünki orada boşluq var, daha çox nöqtə yoxdur. Cəbrlə desək, həqiqi nömrəni kvadratlaşdırmaq və -1 əldə etmək üçün bir yol yoxdur. Dünyanı simmetriya ilə görmək ehtiyacı, Evklid xəttində fəth etdiyimiz məkanı "korlamayan" yeni bir nöqtə yaratmağa vadar edir. Evklide təyyarəsi, Evklidin "ikinci ölçüdə" davam etməsi təbii bir namizəddir.
Əgər belədirsə, onda bəzi problemləri həll etmək məcburiyyətində qalırıq. Bu yeni nömrələrin əlavə edilməsi nə kimi görünür? Onların çoxalması nə kimi olacaq? Güman edirik ki, həqiqi ədədlərin "uzantısı" olmalı olduqları üçün onların əlavə və vurma imkanları var. Beləliklə, onların da bir-birlərini əlavə edib çoxalmalarını düşünmək təbiidir. Üstəlik, bu əməliyyatlar həqiqi ədədləri təmin edən xüsusiyyətlərə uyğun olmalıdır. Beləliklə, Evklid təyyarəsinin iki nöqtəsini təmsil etmək üçün iki cüt həqiqi ədəd götürsək, onların cəmini və məhsullarını mürəkkəb ədədlər arasındakı əməliyyatlar kimi artıq bildiyiniz qaydalarla verildiyi qənaətinə gəlmək məcburiyyətində qalacağıq. Hər polinomial tənliyin bir həllinin olma problemini həll edib-etmədiyi sual qalır. Bu sualın cavabı məşhur Cəbr əsaslı teoremi olan Gaussın doktorluq tezisidir: "Hər mürəkkəb polinomiyanın kompleks kökü var."
İndi iki cəbr quruluşumuz var: həqiqi ədədlərin cəbri (həndəsi olaraq Evklid xətti ilə təmsil olunur) və mürəkkəb ədədlərin cəbri (həndəsi olaraq Evklid təyyarəsi ilə təmsil olunur).
İndi bu məntiqi fikirlər sırasında çox təbii bir növbəti sual verə bilərsiniz: "Evklid üç ölçülü məkanın daha da geniş simmetriyanı gizlətməsi deyilmi?" Və ya başqa bir şəkildə qoyun: "Evklidin üç ölçülü məkanı, mürəkkəb ədədlərin xüsusiyyətlərini 3 koordinat nömrələrinə qədər uzadan 3 ölçülü cəbr deyilmi?"
Bahislərinizi yerləşdirin. Pessimist proqnozlaşdıra bilər: "Cavab mənfi olur, çünki Gaussın göstərdiyi kimi, çoxnömellər artıq mürəkkəb ədədlərdən məmnundurlar və onları həll etmək üçün artıq saylara ehtiyac yoxdur." Optimist geri çəkilə bilər: “Qəribədir ki, bu simmetriya 2-ci ölçüyə son qoyur; 3 ölçüdə gizlənməlidir! ".
Və əlavə edə bilərlər: "Bütün cinsiyyət tənliklərini simmetrik şəkildə həll etmək istəyimizi ödəmək üçün bir cəbr quruluşu üçün maraqlıdır, amma bütün bu elukubulyasiyalar nədir?"

Sütunlara qayıt

<


Video: Simmetriya - I sinif qiymətləndirmə , test üzərində izah (Yanvar 2021).