+
Tezliklə

Riemannın hipotezi və İnternet - IV


Superkompüterlər əsrində etibarlı bir şifrələmə sistemini inkişaf etdirmək asan deyil. Bununla yanaşı, elm adamları R. Rivest, A. Shamir və L. Adleman toxunulmaz olan "RSA" adlı açıq açarlı bir kriptovalyutanı hazırlamışlar. Bu kriptovalyuta, ilk ədədlərin və onların xassələrinin riyazi biliklərindən asılıdır.

Əvvəlki sütunlarda gördüyümüz kimi, bu sistemin işlənib hazırlanmasında riyazi cəmiyyətin işi çox vacib idi. Alman riyaziyyatçısı C. F. Gauss RSA sistemindəki açarların kodlaşdırılması və şifrələnməsində əsas olan konqres anlayışını formalaşdırdı. Digər tərəfdən, təklif olunan metod, İsveçrəli bir riyaziyyatçı L. Euler teoreminə əsaslanmışdır. Fermatın Son Teoremində olduğu kimi, fransız riyaziyyatçısı bu nəticəni yalnız ifadə etdi və Euler Fermatın Kiçik Teoremini nümayiş etdirdi və ümumiləşdirdi. Bu nəticə bildirir ki:

“Əgər səh əsas saydır və m bölünməyən bir tamdır səh,

belə m səh - 1 ≡ 1 (mod səh), yəni bölünmənin qalan hissəsi m səh - 1 əmiuşağı tərəfindən səh é 1.”

Məsələn, bölünmənin qalan hissəsi 1,024 = 210 = 211 - 1 11 ilə 1.

Eylerin bu teoremi ümumiləşdirməsi istənilən modula aiddir. Buna görə, modulun iki ədədin məhsulundan ibarət olduğu RSA sistemini əsaslandırmaq üçün tələb olunan versiyanı istifadə edəcəyik.

Euler-Fermat Teorem:

“Əgər səh əsas ədədlərdir və m hətta bölünməyən bir tamdır səh və üçün deyil ,

belə m (səh-1)×(-1) ≡ 1 (mod səh), yəni bölünmənin qalan hissəsi m (səh-1)×(-1) tərəfindən səh é 1.”

Məsələn, bölünmənin qalan hissəsi 256 = 28 = 22.4 tərəfindən 15 = 3.5 1-dir.

Daha əvvəl gördüyümüz kimi, bir mətni kodlaşdırmaq üçün, RSA sisteminə görə sizə lazımdır:

(1) çox sayda Niki fərqli əmiuşağın məhsuludur səh, yəni N = səh.

(2) tam ədəd E, aşağıdakı xüsusiyyətlərə cavab verən kodlaşdırma açarı kimi tanınır: arasındakı ən böyük ümumi bölücü (MDC) E və məhsul (səh - 1)•(-1) 1 və MDC arasındadır E N də 1-dir.

Mətnin şifrəsini açmaq üçün, RSA sisteminə görə, sizə aşağıdakılar lazımdır:

(3) tam ədəd D, şərti cavablandıran şifrəni açar kimi tanınan:

ED ≡ 1(mod (səh -1)•(- 1)).

Arasındakı əlaqə E D simmetrikdir, yəni D üçün açar açarıdır Esonra E üçün açar açarıdır D.

Əvvəlki sütunlarda mesajı kodladıq İCTİMAİ KEY seçdiyimiz RSA sistemindən istifadə etməklə

N = 2.537 = 43•59, səh = 43, = 59 və kodlama açarı E = 13.

Əvvəlcə sayın olduğunu qeyd edirik N = 2.537 4 rəqəmə malikdir və buna görə mətni cüt hərflərə ayırırıq:

PU BL IC KE Y

və son bloku hərflə tamamlayın C əldə:

<>

PU BL IC KE YC<>

.

Təbii ədəd əlifba hərflərini əlaqələndirən dönüşüm cədvəlindən istifadə edərək, çevrilən mesaj blokları bunlardır:

1520 0111 0802 1004 2402.

Bu yolla alıcı şifrəli mesajı alacaq:

0095 1648 1410 1299 0811.

Bu mesajı deşifr etmək üçün açıq şifrələmə açarı lazımdır, D. Əvvəlki sütunda əldə etdik D Şifr açma açarı kimi = 937.

Hər bloku kodlaşdırırıq, Səh, şifrəli blokdakı mesajın Qmünasibətdən istifadə edərək

<>

Q<>

Səh13 (mod 2.537).

Bloku deşifrə etmək Q Bu şifrəli mesajın əlaqəsini istifadə etməliyik

SəhQ 937 (mod 2.537), 0 ≤ Səh < 2.537.

Bu əlaqənin etibarlı olduğunu qeyd edirik

QSəh13 (mod 2.537) nəzərdə tuturiçində

<>

Q <>

937<>

≡ (Səh13)937 (mod 2.537) ≡ Səh12.181 (mod 2.537).

<>

13۰937 = 12.181 = 5۰2.436 + 1 olaraq əldə edirik

<>

Q <>

937<>

≡ (Səh13)937 (mod 2.537) ≡ Səh12.181 (mod 2.537) ≡ (Səh2.436)5 Səh (mod 2.537).

Euler-Fermat teoreminə görə, 13 və 59-u əsas ədədlər olduğundan əldə edirik

<>

Səh<>

(13 - 1) (59 -1) = Səh 2.436 ≡ 1 (mod 2.537)

və sonra

<>

(Səh2.436)5 SəhSəh (mod 2.537).

Buna görə tranzitliklə əldə edirik

<>

Q<>

937<>

Səh (mod 2.537), 0 ≤ Səh < 2.537

zaman MDC (Səh, 2.537) = 1.

Qeyd edək ki, münasibətlər

<>

Q<>

937<>

Səh (mod 2537), 0 ≤ Səh <2,537, MDC (Səh, 2.537) = 1

bu nümunədəki bütün bloklar üçün doğrudur.

İndi götürək Q blok 0095 kimi. Beləliklə, konqresi həll etməliyik

95 937Səh (mod 2.537),

yəni 95 bölgüsünün qalan hissəsini təyin edin937 2,537 üçün.

Əvvəlcə qeyd edirik ki, əsas güclərin 2-nin cəmi kimi 937 götürsək, bu uyğunluğu həll etmək daha asandır.

937 = 512 + 256 + 128 + 32 + 8 + 1 = 29 + 28 + 27 + 25 + 23 + 1.

Buna görə də bizdə:

952 = 9.025 = 3<>

۰2.537 + 1.414 ≡ 1.414 (mod 2.537);

tezliklə

954 ≡ (1.414)2 (mod 2.537).

Necə (1,414)2 = 1.999.396 = 788<>

372,537 + 240, buna əməl edir

954 ≡ 240 (mod 2.537).

Eyni şəkildə əldə edirik:

958 ≡ 1.786 (mod 2.537);

9516 ≡ 787 (mod 2.537);

9532 ≡ 341 (mod 2.537);

9564 ≡ 2.116 (mod 2.537);

95128 ≡ 2.188 (mod 2.537);

95256 ≡ 25 (mod 2.537);

95512 ≡ 625 (mod 2.537);

Buna görə:

(95)937 =

(95)512 <>

۰ (95)256<>

۰(95)128<>

۰(95)32<>

۰ (95)8<>

۰(95)

625<>

۰25<>

۰2188<>

۰341<>

۰1786<>

۰95 (mod 2.537).

Məhsulları iki-iki alaraq, əldə edirik:

625<>

۰25 = 15.625 = 6<>

۰2.537 + 403 ≡ 403(mod 2.537)

2.188<>

۰341 = 746.108 = 294<>

۰2.537 + 230 ≡ 230(mod 2.537)

1.786<>

۰95 = 169.670 = 66<>

۰2.537 + 2.228 ≡ 2.228(mod 2.537).

Tezliklə

625<>

۰25<>

۰2.188<>

۰341<>

۰1.786<>

۰95 (mod 2.537) ≡

403<>

۰ 230<>

۰ 2.228 (mod 2.537).

Necə

403<>

۰230 =

92.690 =

36<>

۰2.537 + 1.358 ≡

1.358(mod 2.537)

bundan sonra

1,358۰ 2,228 = 3,025,624 = 1,192۰2,537 + 1,520 ≡ 1,520 (mod 2537).

Başa düşürük ki

625<>

۰25<>

۰2.188<>

۰341<>

۰1.786<>

۰95 =

1.358۰ 2.228 =

3.025.624 =

1.192۰2.537 + 1.520 ≡

1.520 (mod 2.537).

Buna görə Q 1.520 blokuna uyğundur.

Riemann Hipotezası üzərində aparılan araşdırmalar, bu araşdırmanın irəliləməsi, faktorinq texnikasında ciddi irəliləyişlərə səbəb ola biləcəyimizi və nəticədə İnternet üzərindən məlumatların ötürülməsində təhlükəsizliyin pozulmasına səbəb ola biləcəyinə dair ilkin qiymət nümunəsi haqqında belə qiymətli məlumatlar verir.

RSA kriptovalyutasının inkişafı riyazi tədqiqat ehtiyacının başqa bir üstün nümunəsini təmsil etdiyini vurğulayırıq, çünki bu saysız-hesabsız riyaziyyatçıların nəsillərinin işini təmsil edir. Əslində, iki min üç yüz il bundan əvvəl sonsuz baş saylarının olduğunu usta göstərmiş Evklid olduğunu xatırlamağa dəyər.

Riyaziyyatın göstərdiyi bütün gücə və gücə baxmayaraq, hələ elmin xidmətində bir dil ilə eyniləşdirən kifayət qədər zəif və uyğunsuz bir fikir var ...

Riyaziyyat insan ruhunun ən böyük yaradılışlarından biridir və Diferensial və inteqral hesablamanın yaradıcılarından biri, Alman riyaziyyatçısı Leibnizin sözləri ilə bağlayırıq:

"Riyaziyyat insan ruhunun şərəfidir."

Sütunlara qayıt

<


Video: Riemann Hypothesis - Numberphile (Yanvar 2021).