Məqalələr

10: Çox dəyişkən inteqral - Riyaziyyat


10: Çox dəyişkən inteqral - Riyaziyyat

Əlaqəli mənbələr

Mühazirə Qeydləri - 13 Həftə Xülasəsi (PDF)

Aşağıdakı məzmun Creative Commons lisenziyası ilə təmin olunur. Dəstəyiniz MIT OpenCourseWare-ə yüksək keyfiyyətli təhsil mənbələrini pulsuz təqdim etməyə davam edəcəkdir. Bağış etmək və ya yüzlərlə MIT kursundan əlavə materiallara baxmaq üçün ocw.mit.edu saytındakı MIT OpenCourseWare saytına daxil olun. Başqa bir şey, fasilədən əvvəl biraz qəfildən bitdiyim üçün son mühazirədir, çünki vaxtım qurtardı, əsas məqamın nə olduğunu ümumiləşdirmək üçün demək istəyirəm ki, qeydlərə baxsanız bunu başa düşmüsünüz. Bu o qədər də vacib deyil, hər halda. Xatırlatmaq istədim, yalnız sonunda baş verənlərə aydınlıq gətirmək üçün diffuziya tənliyini iki bit məlumatdan əldə etdik. Bu qismən diferensial tənlikdə bilinməyənləri, u adlandırdığımız bir maddənin konsentrasiyasına uyğun bir funksiyanı nəzərdə tuturam. Və diffuziyasını öyrəndiyimiz maddənin hər hansı birinin axışını təmsil edən bir vektor sahəsi istifadə etdik. Beləliklə, axının yüksək konsentrasiyadan kiçik konsentrasiyaya keçdiyini söyləyən fizikadan gələn iki məlumat əldə etdik. Və bu, axının bir konsentrasiyanın mənfi bir gradyanı ilə mütənasib olduğunu izah etdi. Əldə etdiyimiz ikinci məlumat da fikir ayrılığı teoremindən idi və izah etməyə çalışdığım vaxt bu idi. Və bu bizə F-nin ayrılmasının əslində qismən t üzərində mənfi qismən u olduğunu söylədi. Bu iki əlaqəni birləşdirdiyinizdə diffuziya tənliyini belə əldə edirsiniz. Bağışlayın, deyim ki, bu fikir ayrılığı teoreminin ifadəsi deyil. Bu, bir neçə addımla əlaqəli olan bir şeydir. Beləliklə, bundan çıxdığımız diffuziya tənliyidir, çünki qismən t-nin üzərində qismən u u mənfi div F-yə bərabərdir, buna görə də grad u-un k dəfə fərqli olmasıdır, yəni del kvadrat u ilə qeyd etdiyimiz şey Laplasian. Beləliklə, diffuziya tənliyini belə əldə etdik. Hər halda, həqiqətən daha çoxunu görmək istədiyiniz təqdirdə verilmiş qeydlərə nəzər salmağa icazə verəcəyəm. Yalnız son mühazirənin itkin hissəsini vermək istədim. İcazə verin vitesləri tamamilə dəyişdirim və xətt inteqrasiyası olan və 3D formatında işləyən bugünkü mövzuya keçim. Əlbətdə bir z koordinatı olmadığı istisna olmaqla, təyyarədə etdiklərimizə çox bənzəyəcək. Bir xətt inteqrasiyasının hesablanmasına gəldikdə şeyləri çox dəyişdirmədiyini görəcəksiniz. Ancaq bir sahənin bir gradyan sahə olub olmadığını yoxlamağa gəldikdə, şeyləri bir az dəyişdirir. Bu səbəbdən daha diqqətli olmalıyıq. Məkandakı xətt inteqralları ilə dərhal başlayaq. P, Q və R komponentləri olan bir F vektor sahəmiz olduğunu deyək. Bunu bəlkə də bir qüvvəni təmsil edən kimi düşünməliyik. Və deyək ki, fəzada bir C əyrimiz var. Sonra sahənin gördüyü iş, F nöqtə dr-nin C boyunca xətti inteqral olacaqdır. Bu tanış bir düstur. Bu düsturla etdiklərimiz də tanış, indi istisna olmaqla, əlbəttə ki, bir z koordinatımız var. Dr vektorunu dx, dy və dz komponentləri olan bir kosmik vektor kimi düşünəcəyik. F ilə nöqtə məhsulunu dr ilə etdikdə bizə Pdx Qdy Rdz-i inteqrasiya etməli olduğumuzu izah edəcəyik. Ancaq yenə də bir xətt inteqrasiyasındadır, buna görə düzgün dəyərləri bağladığınızda hələ də bir inteqrala çevriləcəkdir. Beləliklə, metod təyyarədəki kimi tamamilə eyni olacaq, yəni əyrimizi x plus x, y z-i tək bir dəyişən baxımından parametrləşdirməyin bir yolunu tapacağıq və sonra həmin dəyişənə görə inteqrasiya edəcəyik. Qiymətləndirməyimizin yolu C parametrləşdirmək və x, y, z, dx, dy, dz-ni parametr baxımından ifadə etməkdir. Yalnız bunu necə edəcəyinizi bildiyinizə inandırmaq üçün bir nümunə edək və ya ən azı bunu necə edəcəyinizi bilməlisiniz. Deyək ki, sizə vektor sahəsini yz, xz və xy komponentləri ilə verirəm. Və deyək ki, x ilə verilən bir əyri var t ^ 3, y bərabərdir t ^ 2, z bərabərdir t üçün sıfırdan birə keçmək. Görülən iş üçün ayrılmaz xətt qurmağımız belə olacaq - Bağışlayın. Xətti inteqrasiya etmədən əvvəl hər şeyi t və dt ilə necə ifadə edəcəyimizi bilməliyik. x, y və z, t baxımından burada verilmişdir. Yalnızca dx, dy və dz etməliyik. Fərqləndirərək dx 3t ^ 2 dt olur. Bu t ^ 3 törəməsidir, dy 2t dt, dz isə sadəcə dt olacaqdır. Və iş üçün ayrılmaz xətti qiymətləndirəcəyik. Yz dx xz dy xy dz-nin ayrılmaz hissəsi olacaqdır - yz t ^ 3 dəfə dx 3t ^ 2 dt plus xz t ^ 4 dəfə dy 2t dt plus xy t ^ 5 dt. Bu yalnız ayrılmaz olur, yaxşı ki, t sıfırdan birə gedir, əslində. Və üç artı iki artı bir inteqrasiya edirik. Yəni 6t ^ 5 dt, əmindir ki, bilirsiniz, t ^ 6-ya inteqrasiya edir, buna görə yalnız birini əldə edəcəyik. Həmişəki kimi eyni metoddur. Və bir döngənin həndəsi təsviri verilirsə, əlbəttə ki, ən yaxşı parametrin nə olacağına özünüz qərar verməlisiniz. Buradakı kimi bir müddət t parametri ola bilər. Koordinatlardan biri ola bilər. Burada z-ni parametrimiz kimi istifadə edə bilərdik, çünki əslində bu əyri x-ə x3-ə bərabərdir və y-nin z2-yə bərabərdir. Və bəlkə də bir bucaqdan istifadə edə bilərdik. Bəli, burada deyil, amma bir dairədə və ya buna bənzər bir hərəkətdə olsaydıq. İndiyə qədər hər hansı bir sualınız varmı? Xeyr. Bir az daha çox praktika edə bildiyimiz üçün, eyni vektor sahəsini F etdiyimiz yerdə başqa birini edək, ancaq C əyrimiz x oxu boyunca başlanğıcdan (1,0, 0) nöqtəyə doğru gedəcəkdir. Gəlin C1-ə zəng edək. Sonra (1,1, 0). Y oxuna paralel hərəkət edərək o C2-yə zəng edək. Və sonra z oxuna paralel olaraq (1,1, 1) qədər C3 çağırırıq. Əminəm ki, bəziləriniz ən azı burda nə əldə etdiyimdən şübhələnirsiniz, amma bunu hələ görməyənlər üçün korlamayaq. TAMAM. Bu oğlan boyunca xətt integralini hesablamaq istəyiriksə, onu üç müddətin cəminə bölməliyik. Bəlkə o C'yi axtarmalıyam, C deyil, çünki bu artıq eyni C deyil. C1, C2 və C3 boyunca xətt inteqrasiyasının cəmini etmək istəyirəm. Yaxşı, C1 və C2-yə baxsam x, y müstəvisində olurlar. Əslində, bilirsiniz ki, z hər ikisində sıfır olacaq və dz də hər ikisində sıfır olacaq. Yalnız yz dx plus xz dy plus xy dz rolunda xətt inteqrasiyasının düsturuna baxsanız, belə görünür ki, z-i sıfıra, dz-i sıfıra bərabərləşdirsəniz, yalnız sıfır alacaqsınız. Bunlar əslində çox sürətlidir. İcazə verin. Bu sıfır olacaq, bu sıfır olacaq, bu sıfır olacaq və biz sıfır alacağıq. İndi C3 etsək, orada bir hesablama etməli ola bilərik, amma hamısı o qədər də pis olmayacaq. C3, yaxşı, x və y hər ikisi bərabərdir. Əlbəttə ki, sabit olduqları üçün dx sıfır, dy sıfır deməkdir. Digər tərəfdən, z sıfırdan birə dəyişir. C3-dəki xətt inteqrasına baxsam - ilk iki termin, yz, dx və xz dy yox olur, çünki dx və dy sıfırdır, ona görə xy dz ilə qalmışam. Lakin x və y bir olduğu üçün dz-nin sıfırdan birinə ayrılmaz hissəsidir və bu yalnız bir olacaq. Bu rəqəmləri bir-birinə əlavə etsəniz, sıfır və sıfır artı bir, yenə də alıram. Əlbətdə bu təsadüf deyil, çünki bu vektor sahəsi qradiyent sahədir. Əminəm ki, bəziləriniz bunun gradyanının nə olduğunu artıq başa düşmüsünüz. Əks təqdirdə, bunu birlikdə həll edəcəyik. Buna görə də hər ikisindən başlanğıcdan (1,1, 1) -ə gedən bu iki yol üçün eyni cavabı alırıq. Bəlkə də aydınlaşdırmaq üçün qeyd etməliyəm ki, t-i yuxarıda sıfıra bağlasanız (0,0, 0) alacaqsınız. T-yə bərabərdirsə, (1,1, 1) alacaqsınız. Əslində - Buradakı F mühafizəkar olur. Və iki döngəni bir-birinə bağlasanız - Bəli, bunun düzgün şəkildə necə qurulacağını bildiyimə əmin deyiləm. Tam olaraq necə göründüyü deyil. Nə olursa olsun. Birinci döngə C başlanğıcdan bu nöqtəyə və C 'də bir az daha dairəvi şəkildə gedir. Hər ikisi də kökündən (1,1, 1). Hər iki sətir inteqrasiyası üçün eyni cavabı alacağınız təəccüblü deyil. Bunu necə görürük? Əslində burada qradenti bu vektor sahəsi olan bir funksiya tapmaq çox çətin deyil. Məhz, x, y, z-nin qradenti tam olaraq istədiyimiz kimi olmalıdır. Bunun x hissəsini qismən götürsəniz, y, xz və z, xy ilə əlaqəli yz alacaqsınız. Beləliklə, əslində, bu sətir inteqrallarını hesablamağın daha asan yolu olan, hesablamanın əsas teoremindən istifadə etmək idi. Bu qeyddən sonra bu sətir inteqrallarını hesablamağa ehtiyac qalmır. Yalnız əsas teoremdən istifadə edə bilərik. Bu təməl teoremi bilsək - xətt inteqrasiyaları üçün bizə bir qradiyent sahəsinin xətt inteqrasiyasının potensialın başlanğıc nöqtəsindəki potensialın dəyəri çıxılmaqla son nöqtədəki potensialın dəyərinə bərabər olduğunu söyləyir. Əlbətdə bu, yalnız potensialınız varsa tətbiq olunur. Beləliklə, xüsusilə, yalnız mühafizəkar bir sahə, bir gradient sahəniz varsa. Burada, nümunəmizdə nəzər salmalıyıq, x, potensial xyz olan x, y, z-nin az f-sini çağıraq, sonra f (1,1, 1) - f (0,0, 0) götürək. Və bu, həqiqətən bir olan mənfi sıfırdır. Hər şey uyğundur. Bütün bu şeylər indiyə qədər təyyarədəki kimi işləyir. Hər hansı sual? Xeyr. İşlərin harada bir az fərqli olduğunu görməyə çalışaq. Və ilk belə bir yer bir vektor sahəsinin bir qradiyent sahə olub olmadığını yoxlamağa çalışdığımız zamandır. Təyyarədə bir vektor sahəsi olduğumuzu xatırlayın, bunun iki dəyişənin funksiyasının qradiyenti olub olmadığını bilmək üçün bir şərt yoxlamaq məcburiyyətindəyik, N alt x bərabərdir M alt y. İndi həqiqətən yoxlamaq üçün üç fərqli şərtimiz var və bu, əlbəttə ki, daha çox iş deməkdir. TAMAM. Bəs qradiyent sahələri üçün testimiz nədir? P, Q və R komponentləri olan verilmiş bir vektor sahəsinin eyni F funksiyası üçün f sub x, f sub y və f sub z kimi yazılıb yazılmayacağını bilmək istəyirik. Bunun mümkün olması üçün əlbəttə ki, bəzi ehtiyaclarımız var P, Q və R. arasındakı münasibətlər və əvvəlki kimi, bunlar qarışıq ikinci türevlərin hansi sıra ilə alınmasından asılı olmayaraq eyni olmasıdır. Əgər belədirsə, f sub xy ilə iki fərqli şəkildə hesablaya bilərəm. F alt xy P alt y olmalıdır. F alt yx, yaxşı ki, f alt y Q olduğundan Q sub x olmalıdır. Bu, yalnız iki dəyişənə sahib olduğumuz bir meyarın bir hissəsidir. Ancaq indi əlbəttə ki, x və z və ya y və z-ə baxanda eyni şeyi etməliyik. Bu, bizə daha iki şərt verir. P sub z f sub xz, f sub zx ilə eynidir, buna görə R sub x ilə eyni olmalıdır. Nəhayət, f sub yz olan Q sub z, f sub zy-yə bərabərdir R sub y. Üç şərtimiz var, buna görə də meyarımız - F vektor sahəsi bərabərdir

. Və burada tamamilə doğru olmaq üçün sadəcə bir-birinə bağlı bir bölgədə müəyyənləşdirilmiş demək lazımdır. Əks təqdirdə, əvvəlki kimi baş verən eyni qəribə şeylərə sahib ola bilərik. Bu mövzuda çox narahat olmayaq. Dəqiqlik üçün vektor sahəmizin sadəcə əlaqəli bir bölgədə təyin olunmasına ehtiyacımız var. Nümunə yalnız hər yerdə müəyyən edildiyi təqdirdədir. Heç bir pis aradan qaldırıcınız yoxdursa, davam edə bilərsiniz və heç bir problem yoxdur. Qradiyent sahədir. Üç şərtə ehtiyacımız var. Bunu qaydada edək. P alt y Q alt x-a bərabərdir. Və bizdə P sub z bərabərdir R sub x və Q sub z bərabərdir R sub y. Bu üç şərti necə xatırlayırsınız? Bəli, olduqca asandır. Hər hansı iki komponent seçirsiniz, x və z komponentini deyin və x komponentinin z hissəsini, z komponentinin x hissəsini hissəsini götürün və onları bərabərləşdirməlisiniz. Hər dəyişən cütü ilə eyni. Əslində, daha çox dəyişən funksiyanız olsaydı, kriteriya yenə də buna bənzəyirdi. Hər cüt komponent üçün qarışıq hissələr eyni olmalıdır. Ancaq üç dəyişəndən kənara çıxmaq niyyətində deyilik, buna görə bunu bilməyinizə ehtiyac yoxdur. Bunu bilməlisən, qoy qutusuna qoyum. Bu olduqca sadədir. Yalnız necə getdiyini görmək üçün bir nümunə edək. Yeri gəlmişkən, bunu diferensiallar baxımından da düşünə bilərik. Nümunəni göstərməmişdən əvvəl başqa bir dildə deyim. Bizə bir Pdx Qdy Rdz forması verilmiş bir diferensial varsa, dəqiq diferensial olacaqdır, yəni bəzi F funksiyası üçün df-yə bərabər və eyni şərtlər deməkdir. Eyni şey. Sadəcə diferensialların dili ilə. Söz verdiyim nümunə. Əlbətdə ki, yenisini də orada edə bilərdim və şərti təmin etdiyini yoxlaya bilərdim, amma o zaman çox əyləncəli olmazdı. Beləliklə daha yaxşı birini edək. Əslində, bunu imtahan problemi kimi görünən bir şəkildə edək. Gəlin a və b-nin xy dx artı olduğu deyək - Oh, buraya sığmayacaq. Ancaq bura sığacaq. a xy dx (x ^ 2 z ^ 3) dy (byz ^ 2 - 4z ^ 3) dz, dəqiq diferensial. Və ya, a və b-nin i, j və k əvəzinə uyğun bir vektor sahəsi olduğu bir qradiyent sahəsi olduğu dəqiq diferensialları bəyənmirsinizsə. Yalnız meyarı tətbiq edək. Əlbətdə ki, gələcəkdə potensialın potensialı necə tapacağını tapmaq olduğunu təxmin edə bilərsiniz. Gəlin bunu bir-bir edək. P sub y-i Q sub x ilə, P sub z-i R sub x ilə müqayisə etmək və bu subyektləri P, Q və R adlandırdığımız yerdə Q sub z-i R sub y ilə müqayisə etmək istəyirik. Görək. P alt y nədir? Bu balta kimi görünür. Q alt x nədir? 2x. Q bu. Əslində icazə verin onları yazım. Çünki əks halda özüm qarışıq olacağam. Buradakı oğlan, yəni P, buradakı oğlan, yəni Q və buradakı oğlan, yəni R. Bu bizə a-nın sahib olduğunuz ilk məhsulun ikisinə bərabər olması lazım olduğunu söyləyir. TAMAM. P sub z-ə baxaq. Bu yalnız sıfırdır. R alt x? R-də də x yoxdur, yəni sıfırdır. Bu problem deyil. Q alt z? Yaxşı, 3z2 görünür. R alt y bz2 kimi görünür, buna görə b üçə bərabər olmalıdır. Bunun ikisinə bərabər olmalıyıq və bunun dəqiq olması üçün bu, və deyil, ya da b-nin üçə bərabər olması lazımdır. A və b dəyərləri üçün hazırda görəcəyimiz metoddan istifadə edərək potensial axtara bilərik. A və b digər dəyərləri üçün edə bilmərik. Bir xətt inteqrasını hesablamalıyıqsa, bir parametr taparaq hər şeyi quraraq bunu etməliyik. Bu nöqtədə hər hansı bir sualınız varmı? Bəli? Görürəm. Yaxşı, eyni cavabı alsam, oh, bz ^ 2 və ya 3bz ^ 2 dedinmi? Məsələn, 3bz ^ 2, məsələn, b-nin sıfır olmasına ehtiyacım olacaqdı, çünki 3bz2-nin yalnız bir nöqtədə deyil, hər yerdə bz2-yə bərabər olduğu vaxt, x, y, z-nin eyni funksiyası olmalıyam. Yaxşı, z2 əmsalı eyni olarsa b veriləcək 3b-ə bərabərdir, mənə b sıfıra bərabər olar. Hər iki tərəfdən də bz2 alsaydınız, işləyən hər hansı bir b dəyəri üçün demək olar və b dəyərinin nə olduğu barədə narahat olmayacaqsınız. Başqa suallarınız var? Xeyr. İndi potensialı necə tapa bilərik? Əvvəlki kimi iki üsul var. Onlardan biri, sonuncu dəfə birincisi və ya ikincisi olduğunu xatırlamıram, amma həqiqətən vacib deyil. Bunlardan biri yalnız F nöqtəsindəki dəyərin x1, y1, z1 olduğunu, sahəmin yaxşı seçilmiş bir əyri boyunca sahəmin xətt inteqrasiyasına bərabər olduğunu söyləmək idi, əlbətdə sabit, inteqrasiya sabitliyi olacaqdır. Və bu hesablamanı aparacağım əyri növü, başlanğıcdan x1, y1, z1 nöqtəsinə gedən ən sevimli əyrim olacaqdır. Beləliklə, ümumiyyətlə ən ümumi seçim x oxu boyunca, sonra y oxuna paralel və sonra z oxuna paralel x1, y1, z1 nöqtəsinə qədər getmək olacaq. Sadəcə üç asan xətt inteqrasiyasını hesablayardım. Onları bir yerə əlavə edin və bu mənə işimin dəyərini verəcəkdir. Bu metod, iki dəyişəndə ​​olduğu kimi tamamilə eyni şəkildə işləyir. İndi xatırlayıram ki, siz uşaqlar daha çox digər üsula üstünlük verdiniz. Sizə digər metoddan da danışacağam, ancaq sadəcə bu üsulun daha da çətinləşmədiyini qeyd etmək istəyirəm. Digərinin isə daha çox pilləsi var. Əlbəttə, burada bir az daha çox addım var, çünki yolunuza iki deyil, üç hissə var. İki yerinə hesablamaq üçün üç sətir inteqralınız var, lakin konseptual olaraq tamamilə eyni fikir olaraq qalır. 2D-də olduğu kimi işlədiyini söyləməliyəm. Çox dəyişiklik yoxdur. Anti-törəmələrdən istifadə edərək digər üsula baxaq. Parçaları bizə verilmiş şeylər olan kiçik bir f funksiyası tapmaq istədiyimizi unutmayın. Çözmək istəyirik, icazə verin işləyəcək a və b dəyərlərini əlavə edim. A iki olmalıdır, deməli f sub x 2xy, f sub y x2 plus z3, f sub z 3yz ^ 2 mənfi 4z ^ 3 olmalıdır. Onlara bir-bir baxıb funksiya barədə qismən məlumat əldə edəcəyik. Və sonra tamamən bitənə qədər daha çox məlumat əldə etmək üçün digərləri ilə müqayisə edəcəyik. İlk edəcəyimiz şey, f sub x-nin 2xy olduğunu bilirik. Bu bizə f barədə bir şey izah etməlidir. Yaxşı, bunu x ilə əlaqələndirək. Bunun yanında ayrılmaz dx yazım. Bu bizə f-nin olması lazım olduğunu söyləyir, əgər x ilə əlaqələndirsək, 2x x ^ 2-yə inteqrasiya edərsə, x2y əldə etməliyik. Əlbətdə bir inteqrasiya sabitidir. İndi inteqrasiya sabiti deyəndə nəyi nəzərdə tuturuq. Y və z verilən dəyərləri üçün x-dan asılı olmayan bir müddət alacağımız deməkdir. Hələ y və z-dən asılıdır. Əslində əldə etdiyimiz şey y və z funksiyasıdır. Bax, bunun x ilə əlaqəli türevini alsanız, 2xy alacaqsınız və bu adam gedəcək, çünki içərisində x yoxdur. Bu ilk addımdır. İndi g haqqında bəzi məlumatlar əldə etməliyik. Bunu necə edirik? Yaxşı, digər hissələrə baxırıq. F alt y, x ^ 2 z ^ 3 olmasını istəyirik. Ancaq bunu tapmaq üçün başqa bir yolumuz var, bu da bundan başlayır və fərqlənir. Bunun üçün rəng istifadə etməyə çalışaq. İndi bunun y ilə əlaqədar hissəsini götürsəm, f alt y üçün fərqli bir düstur alacağam. Bu x ^ 2 plus g sub y olacaq. Mənə g sub y-nin z3 olması lazım olduğunu söyləyən bu iki ifadəni müqayisə etsəm. İndi bu varsa y ilə əlaqələndirə bilərəm. Bu mənə g-nin əslində yz ^ 3 artı bir inteqrasiya sabit olduğunu söyləyəcək. Bu sabit, yenə də y-dən asılı deyil, lakin yenə də z-dən asılı ola bilər, çünki hələ də z ilə bağlı qismən bir şey deməmişik. Əslində, o sabit mən z funksiyası olaraq yazacam. Əgər bu z funksiyasına sahib olsam və y-a nisbətən qismən götürsəm, h olmasına baxmayaraq z ^ 3 alacam. İndi h-ni necə tapa bilərəm? Əlbətdə ki, f sub z-yə baxmaq məcburiyyətindəyəm. F alt z. Verilən vektor sahəsindən 3yz ^ 2 mənfi 4z ^ 3 olmasını istədiyimizi bilirik. Bunun haradan gəldiyini merak etmisinizsə, bu R. idi. Ancaq bu, indiyə qədər olanları z ilə əlaqələndirərək əldə edilir. Bağışlayın. İndiyə qədər nə var idi? F, x ^ 2y plus g-ə bərabər idi. Və dedik ki, g həqiqətən yz ^ 3 plus z-dir. İndiyə qədər sahib olduğumuz şey budur. Bunun z-yə aid türevini götürsək, sıfır plus 3yz ^ 2 plus h z z və ya dh dz istədiyimiz kimi alacağıq. İndi bu ikisini müqayisə etsək, h-nin törəməsini əldə edəcəyik. Bizə h başının z3 üçün mənfi olduğunu söyləyəcək. Yəni h mənfi z ^ 4 artı bir sabitdir. Və bu nəhayət həqiqi bir sabitdir. Çünki z-dən asılı deyil və bunun üçün asılı olacağı başqa bir şey yoxdur. İndi bunu əvvəllər olduğumuza bağlayırıq və bu bizə f funksiyamızı verəcəkdir. F = x ^ 2y yz ^ 3 - z ^ 4 plus sabitini alırıq. Yalnız bir potensial tapmaq istəyirsənsə, davamlılığı unuda bilərsən. Bu adam bir potensialdı. Bütün potensialları istəyirsinizsə, bu sabit ilə fərqlənirlər. TAMAM. Sadəcə üsulu təkrarlamaq üçün nə etdik? Başladıq - Və əlbətdə ki, bunu istədiyiniz qaydada edə bilərsiniz, amma yenə də sistematik metodu izləməlisiniz. Siz f alt x ilə başlayırsınız və bunu x ilə əlaqələndirirsiniz. Bu, yalnız y və z funksiyasına qədər f verir. İndi vektor sahəsi tərəfindən verilən f sub y ilə f ifadəsini bu düsturdan əldə etdiyiniz düsturla müqayisə edirsiniz. Əlbətdə ki, buna g alt y aid olacaqdır. Bunun xaricində g alt y dəyərini alacaqsınız. Sizə yalnız z funksiyasına qədər g verən y alt y olduqda. Beləliklə, indi yalnız z funksiyasına qədər f var. Nə edəcəksən, vektor sahəsindən gəlmək istədiyin və f üçün bu düsturdan gəldiyin z ilə əlaqəli türevə baxmaq, onları uyğunlaşdır və h başlığını izah edəcəksən. H alacaqsınız, sonra f alacaqsınız. Hər hansı sual? Hələ də kim bu üsula üstünlük verir? Tamam, yenə də çoxunuz. Kim düşünür ki, bəlkə də başqa metod o qədər də pis deyildi? TAMAM. Bu hələ azlıqdır. İstədiyiniz birini seçə bilərsiniz. Yalnız hər ikisini necə edəcəyinizi bildiyinizdən sonra hansına üstünlük verdiyinizə sadiq qalmaq üçün ən azı bir neçə nümunəni sınayaraq bir az təcrübə keçməyinizi məsləhət görərdim. Bununla bağlı hər hansı bir sualınız varmı? Xeyr. Artıq soruşdum. Hələ sualınız yoxdur? TAMAM. Növbəti məntiqi şey qıvrılacaq. Və bu şəraitdə işləmək üçün Qrin teoremini əvəz edəcək teorema Stokes teoremi adlanacaq. Sizə 3D-də qıvrım haqqında danışmağa başlayım. Budur açıqlama. Qıvrım yalnız vektor sahənizin mühafizəkar ola bilməyəcəyini ölçəcəkdir. Və hərəkətlər baxımından düşünmək istəyirsinizsə, bu da hərəkətin fırlanma hissəsini ölçəcəkdir. Yaxşı, əvvəlcə bir tərif verim. Tutaq ki, vektor sahəmin P, Q və R komponentləri var. Sonra F-nin qıvrımını R alt y mənfi Q sub z dəfə i plus P sub z mənfi R sub x dəfə j plus Q sub x minus P sub y olaraq təyin edirik. dəfə k. Əlbətdə bu formulu heç kim xatırlaya bilməz, bəs bu formulun quruluşu nədir? Görürsən, bu uşaqların hər biri sahəmizin mühafizəkar olması üçün sıfır olması lazım olan şeylərdən biridir. F sadəcə əlaqəli bir bölgədə təyin olunarsa, F-nin mühafizəkar olduğunu və yalnız F qıvrılmasının sıfır olmasına bərabərdir. İndi buradakı qıvrımla müstəvidəki qıvrım arasındakı əhəmiyyətli bir fərq, indi bir vektor sahəsinin qıvrımının yenidən bir vektor sahəsidir. Bu ifadələr x, y, z funksiyalarıdır və birlikdə bunlardan bir vektor yaradırsınız. Bir vektor sahəsinin kosmosdakı qıvrılması skaler funksiya deyil, əslində bir vektor sahəsidir. Qaçılmaz olanı təxirə saldım. Bu pis düsturu necə xatırlayacağımı sizə həqiqətən izah etməliyəm. Sirr budur ki, əslində bunu del cross f kimi düşünə bilərsiniz. Bəlkə də bunu fizikada görmüsən. Bu, həqiqətən, bu del qeydinin son dərəcə faydalı olduğu yerdir, çünki qıvrım formulunu xatırlamağın yeganə yolu budur. Dell operatorunu təqdim etdiyimizi unutmayın. Komponentlərin qismən törəmə operatorlar olduğu bu simvolik vektor operatoru budur. Gördük ki, bunu bir skalar funksiyasına tətbiq etsəniz, bu sizə qradiyent verəcəkdir. Və gördük ki, dell ilə vektor sahəsi arasındakı nöqtə məhsulunu etsəniz, bəlkə də ona P, Q və R komponentləri verməliyəm, qismən x üzərində qismən P və qismən Q üzərində qismən y və qismən z üzərində qismən R alacaqsınız. , bu fikir ayrılığıdır. Və indi yenilik budur ki, dell cross F etməyə çalışsam, yaxşı dell cross F nədir? Bu qəribə şey arasında həqiqətən vektor olmayan bir çarpaz məhsul qurmalıyam. Demək istədiyim odur ki, qismən x üzərində bir hissəni qismən düşünə bilmirəm. Və mənim vektor sahəm

. Bax, bu həqiqətən determinant qeydinin tamamilə təhrif olunmuş istifadəsidir. Başlanğıcda, determinantların yalnız üç-üç rəqəm cədvəlinə sahib olduğunuz və bunlardan bir ədədi hesabladığınız ehtimal olunurdu. Bu uşaqlar funksiyalardır, buna görə də rəqəmlər sayırlar, amma bunlar vektorlardır və bunlar qismən törəmələrdir. Bu qeyddən başqa həqiqətən mənalı deyil. Bunu bir kalkulyatora və ya kompüterə daxil etməyə çalışarsanız, yalnız dəli olduğunuzu söyləyərək sizə cavab verəcəkdir. [GÜLMƏK] Bunu yalnız orada olanları xatırlamaq üçün bir qeyd kimi istifadə edirik. Gəlin görək bunun necə işlədiyini görək. Bu çarpaz məhsuldakı i komponenti, bu kiçik determinant olduğunu, daha kiçik determinantın qismən R-nin qismən y olduğunu, Q-nın qismən z-dən qismən çıxdığını, i əmsalı olduğunu unutmayın. Və deyəsən oradakılarım belə idi. Olmasa o zaman səhv etdim. Növbəti təyinedici dəfə z. Xaç məhsulu hazırladığınız zaman bir j komponentinin qarşısında həmişə mənfi bir işarənin olduğunu unutmayın. Digəri isə qismən x R qismən P-nin qismən z üstünə qismən z və üstəgəl qismən x Q qismən y qismən y qismən P olacaq qismən z-nin komponenti və həqiqətən F-nin qıvrımı olacaqdır. Təcrübədə, bir vektor sahəsinin qıvrımını hesablamalı olsanız, bilirsiniz, bu formulu xatırlamağa çalışmayın. Bir sahənin komponentləri üçün hər hansı düsturla bu çarpaz məhsulu qurun və sonra hesablayın. Ümumi düsturu xatırlamağa çalışmayın, sadəcə bunu xatırlayın. Yalnız bitirmək üçün qıvrımın həndəsi izahı nədir? Bir şəkildə, sürət sahəsindəki fırlanma komponentini yalnız kıvırma ölçməsini söyləyəcəyəm. Yoxlaya biləcəyiniz, yoxlamaq həqiqətən asan olan bir məşq, x oxu ətrafında bərabər dərəcədə fırlanan bir mayenin olduğumuzu söyləyir. Mayeniz yalnız z oxu ətrafında belə fırlanır. Z oxu ətrafında bir fırlanma etsəm. Bu, bucaq sürəti omeqa olan komponentləri olan bir sürət sahəsi tərəfindən verilir. Bu mənfi omega dəfə y, sonra omega x və sıfır olacaq. Və bunun qıvrımını hesablaya bilərsiniz və iki omeqa dəfə k tapacaqsınız. Konkret olaraq, bu qıvrım sizə dönmə açısal sürətini yaxşı bir şəkildə iki faktorla verir, lakin bunun əhəmiyyəti yoxdur və fırlanma oxu, fırlanma oxunun istiqamətidir. Sizə şaquli ox ətrafında fırlandığını bildirir. Ümumiyyətlə, mürəkkəb bir hərəkətiniz varsa, bəziləri ola bilər, bilirsiniz, bir tərcüməsi var. Və sonra bu tərcümə daxilində bəlkə də genişlənmə və fırlanma, paylaşma və hər şey var. Qıvrım nə qədər fırlanma baş verdiyini hesablayacaq. Sənə söyləyəcəksən ki, çox kiçik bir qatı var, axınındakı bir stolüstü tennis topu kimi bir şey bilmirəm və bu sadəcə axınla gedir, necə dönməyə başlayacağını izah edir. Qıvrım tədbirləri budur. Cümə axşamı növbəti imtahandan əvvəl son tərkib hissəsi olacaq Stokes teoremini görəcəyik. Sonra Cümə günü materialları nəzərdən keçirəcəyik.


Bu, OCW-də 2400-dən çox kursdan biridir. Bu kurs üçün materialları sol tərəfdəki səhifələrdə araşdırın.

MIT OpenCourseWare bütün MIT tədris proqramını əhatə edən minlərlə MIT kursundan materialın pulsuz və açıq bir nəşridir.

Qeyd və ya qeydiyyat yoxdur. OCW materiallarına sərbəst baxın və öz sürətinizdə istifadə edin. Burada qeydiyyat və başlanğıc və bitmə tarixləri yoxdur.

Bilik sizin mükafatınızdır. Ömür boyu öyrənməyinizə rəhbərlik etmək və ya başqalarına öyrətmək üçün OCW istifadə edin. OCW istifadə üçün kredit və ya sertifikat təklif etmirik.

Paylaşmaq üçün hazırlanmışdır. Daha sonra faylları yükləyin. Dostlarınıza və həmkarlarınıza göndərin. Dəyişdirin, yenidən düzəldin və yenidən istifadə edin (mənbə olaraq OCW-ni göstərməyi unutmayın)


Toplar və kürələr

  • Təriflər və ilk xüsusiyyətlər
  • Onlayn qeydlərin 0-cu fəslini oxuyun
  • Onlayn qeydlərin 0.3 hissəsində və ya birbaşa SageMathCell-də SAGE kiçikləri ilə oynayın.
    2 dəyişkənli funksiyanı aşağıdakılarla təyin edə bilərsiniz:
    def f (x, y):
    qayıt (x ^ 2) / 9 - (y ^ 2) / 4
    Sonra qrafikini aşağıdakılarla çəkə bilərsiniz:
    plot3d (f, (- 5,5), (- 5,5), çərçivə = Doğru, oxlar = Yanlış, uyğunlaşma = Doğru, rəng = göy qurşağı (60, 'rgbtuple'))
    Və ya səviyyə:
    contour_plot (f, (-5,5), (-5,5), fill = False, konturlar = 20, etiketlər = True, label_inline = True)
  • Bir dəstin daxili hissəsi / bağlanması / sərhədləri ilə bağlı sinifdaxili suallar üzərində işləyin.
  • Bölmə 0.P-dəki suallar üzərində işləyin.

Xüsusiyyətləri

  • 30 illik müəllimlik təcrübəsi ilə mükafat qazanan riyaziyyat professoru tərəfindən yazılmışdır
  • Yerdən yerə ekspozisiya
  • Tamamilə ciddi təriflər, teoremlərin ifadələri və illüstrativ sübutlar
  • Daha texniki dəlillərə xarici istinadlar
  • Bölmələr əsaslar, daha çox dərinlik və lazım olduqda + xətti cəbrə bölünür
  • Margin yan qeydləri və tarixi istinadlar
  • Hiper əlaqəli məzmun cədvəli, indeks və qarşılıqlı istinadlar
  • Xətti cəbrdə Wikipedia məzmununa hiperlinklər verilir
  • Tam həcmli mühazirələrə yerləşmiş video əlaqələr
  • Məşqləri seçmək üçün video-həllər
  • PDF formatı, bütün kompüterlər, tabletlər və mobil cihazlar ilə uyğundur
  • Elektron və ya çap şəklində aşağı qiymət

10: Çox dəyişkən inteqral - Riyaziyyat

Çox dəyişkən hesablama pdf üçün 10 ən yaxşı kitab

Ən yaxşı çox dəyişkən hesablama mətn kitabları

MathSchoolinternational 5000+ Riyaziyyat Pulsuz PDF Kitabları və Fizika Pulsuz PDF Kitablarını ehtiva edir. Riyaziyyat, Fizika və Mühəndislik tələbələri üçün demək olar ki, bütün mövzuları əhatə edən. Burada Riyaziyyat e-kitablarının hədsiz siyahısı. Bu dərsliklər, qeydlər və həll dərsliklərini tələbələr və müəllimlərin bəyənəcəyini ümid edirik.

Bir mühəndislik, iqtisadiyyat, riyaziyyat və ya fizika tələbəsi olaraq hesablama kursu keçməlisiniz. mathschoolinternational sizin üçün faydalı olacaq və hər hansı bir hesablama kursu üçün səmərəliliyinizi artıracaq aşağıdakı ən yaxşı dərsliklərin, ən yaxşı həll təlimatlarının və həll edilmiş qeydlərin hərtərəfli toplusunu təqdim edir.
• Top 10 Ən Yaxşı Tək Dəyişən Hesab
• Top 10 Ən Yaxşı Mutlivariable Hesab
• Ən yaxşı 5 ən yaxşı AP hesabı
• Analitik Həndəsə ilə Top 7 Ən Yaxşı Riyaziyyat
• Ən Yaxşı Erkən Transandentallar Riyodu
• Ən yaxşı 25 ən yaxşı həll olunmuş hesablama
• Top 50 Ən Yaxşı Əvvəlcədən Hesablama

Çox dəyişkənli hesablamada (çox dəyişkən hesablama olaraq da bilinir) iki və ya daha çox dəyişənin funksiyalarını öyrənirik, məsələn, f (x, y) = yx və ya f (x, y, z) = xyz + yz, oxuduğunuz tək dəyişkən hesablama vahid müstəqil dəyişənin funksiyaları. Məsələn, f (x) = 3x.

Riyaziyyat bir çox alt hissəyə malikdir, çoxsaylı dəyişən hesablama bir dəyişənin funksiyaları ilə məşğul olur. Məsələn, f (x) = 3x bir x dəyişənə malikdir, buna görə tək dəyişkən hesablama bu tip dəyişənə daxil edilir, çox dəyişkənli hesablama isə çox real dəyişənlərin funksiyalarını araşdırır. Məsələn f (x, y) = xyz və ya f (x, y, z) = xy + yz.
Budur aşağıdakı isti mövzuları əhatə edən ən yaxşı 10-dan çox dəyişkən dərslik.
• Sonsuz sequnetlər və seriyalar
• Qismən Törəmə və ya Qismən Fərqləndirmə
• Çox dəyişkən dəyişən funksiyaların fərqləndirilməsi
• Çox dəyişkən dəyişən funksiyaların inteqrasiyası
• Yanlış İnteqrallar
• Sapace-də vektor funksiyaları, əyrilər, səthlər və həndəsə
• Vektor hesablanması və təhlili
• Diferensial tənliklər və diferensial tənliklərdə əlavə mövzular
• Qıvrım və Stokes Teoremi
• Yaşıl teoremi çox dəyişkən hesablamada vacib bir teoremdir ki, bu da hesablamanın ilk fundamental teoreminin iki ölçüyə ümumiləşdirilməsidir.
birdən çox dəyişkən hesablama dərsliyi məzun və əvvəlki səviyyəli tələbələr üçün ən yaxşısıdır.

Məzmununa baxmaq, onlayn oxumaq və ya yükləmək üçün hər kitabın başlığını vurun. Bunları mobil telefonunuza, iPad, PC və ya flash sürücünüzə pulsuz yükləyə bilərsiniz. Bu veb saytın yuxarı hissəsində verilən MathSchool axtarış qutusuna kitab adını və ya müəllif adını yazaraq riyaziyyat kitabında axtarış edə bilərsiniz. Xahiş edirəm bu siyahının daim yenilənəcəyini unutmayın, beləliklə səhifə ilə əlaqə saxlayın.


Bruchkov Yu.A., Glaeske H.-J., Prudnikov A.P., Vu K.T.,Çoxölçülü inteqral çevrilmələr, Geest & amp Portig K.G., Leipzig ve D. Reidel Publ., Amsterdam, (görünür).

Exton H.,Hipergeometrik inteqrallar, nəzəriyyə, tətbiqetmələr, masalar, kompüter proqramları haqqında məlumat kitabı, Halsted Press (Ellis Horwood), John Wiley and Sons, Chichester-New York-Brisbane-Toronto, 1978.

Lauricella G.,Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili, Rend. Circ. Mat. Palermo7 (1893), 111–158.


Terms

Please note that the following information is subject to change.

  • Weekly Concept Check-Ins: 5%, based on completion
  • Unit Self-Assessments (Best 10 out of 12 each half): 7%
  • Mastery Tests (3 x 1% each): 3%
  • Live Sessions (6 x 1% each) (Best 5 out of 6): 5%
  • In-Term Tests (Best 2 out of 3 each half): 20%
  • Proctored Mid-Course Exam: 30%
  • Proctored Final Exam: 30%
  • If the exam mark in a term is higher than any written term test, the test mark will be replaced with the exam mark (applies to all tests with grades lower than the exam grade, not just the lowest).
  • If a student misses a test without a valid reason, the mark for the test will remain a zero, regardless of exam performance. See Course Policy below.

Course Policy

  • All tests are mandatory, and can only be missed through pre-arrangement, or due to illness/family emergency. Notification by email is required within 7 days of the missed test in the case of illness/family emergency.
  • Missed tests (with appropriate notification) will not be re-taken the 5% for the test will be added to the exam for the current term. Missed tests without a reason/notification will be given a grade of zero.
  • In the tests and exam, no resources can be used, except those provided explicitly in the test.
    • First violation on a test: zero on two tests, record with the Faculty.
    • Second violation on a test or violation in the exam: zero for the course, communication with the Faculty.

    Final and Midterm Examination

    Midterm exam: The date and time will be scheduled during the Fall term final examination period. You will write your midterm exam at the same exam centre location as the final proctored exam.

    The final exam will be held during the Winter term final examination period. The exam schedule will be determined approximately eight weeks before the start of the exam period.

    Students must write their exam on the day and time scheduled by the University. The start time may vary slightly depending on the off-campus exam centre. Do not schedule vacations, appointments, etc., during the exam period.


    Math Insight

    Changing variables in triple integrals is nearly identical to changing variables in double integrals. You can view this story as a second chance to understand the basics underlying a change of variables. You can also read a more traditional introduction to changing variables in triple integrals.

    Imagine that you are an engineer designing a new electrode tip that will be used to monitor brain activity in people with epilepsy. The end product will be an array of electrodes that will be implanted in the area of a patient's brain where doctors believe the epileptic seizures begin. Once the array of electrodes is implanted in the brain, doctors will be able to monitor the brain's activity before and during a seizure to pinpoint exactly where the seizure begins.

    Currently, for severe cases of epilepsy that don't respond to other treatment, the recommended treatment is removing the small part of brain tissue that starts the seizure. Since doctors want to remove as little of the brain as possible, implanting electrode arrays is necessary to find exactly what part of the brain is causing the trouble.

    You, however, are working with a team of scientists looking for methods to stop the seizure that don't involve removing parts of the brain. The idea is the following. The electrode arrays can detect patterns of brain activity that signal the seizure is about to begin. What if one can use the electrodes to disrupt that pattern of activity so it doesn't develop into a full blown epileptic seizure? If one passes small pulses of current through the electrodes with the right timing, the hope is that a seizure can be avoided.

    With this goal and many other technical requirements in mind, you have developed a prototype electrode tip whose shape is given by the solid $dlv$ diagrammed below. You have optimized the electrical properties of the electrode tip both through developing the shape $dlv$ and through incorporating different metal alloys along different parts of the electrode.

    Applet loading

    A three dimensional domain of an electode trip. The solid $dlv$ represents a tip of an electrode.

    You are quite excited about your new design. You show it to the chief scientist on the project. She likes your design, but has one concern. She wants you to calculate the total charge that may build up on the electrode to make sure it doesn't reach unsafe levels.

    From the metal composition of your electrode tip and the information the chief scientist gives you about the current, you quickly calculate $g(x,y,z)$, the charge density at each point $(x,y,z)$ within the electrode tip. To find the total charge, all you need to do is calculate the triple integral egin ext = iiint_dlv g(x,y,z) , dV, end where $dlv$ is the solid representing the electrode tip.

    You struggle with calculating the integral, but, especially given the complicated shape of the electrode, you find that the integral is too difficult to solve directly. Then, you remember something you learned in your multivariable calculus course: changing variables in triple integrals.

    Step 1: Integrate over new region $dlv^*$

    Instead of trying to directly integrate $g(x,y,z)$ over $dlv$, you realize you could solve your problem by finding a change of variables egin (x,y,z) = cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv) end that maps a simpler solid $dlv^*$ onto the complicated solid $dlv$. Then, rather than integrating over $dlv$, you could integrate over $dlv^*$.

    After a long night's worth of calculations, you come up with a function $cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ that looks promising. The effect of the function $cvarf$ is demonstrated below. The function $cvarf$ maps a simple solid $dlv^*$ (shown in the first panel, below) in $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$-space to the electrode tip $dlv$ (shown in the second panel, below) in $(x,y,z)$-space. We often say that $cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ parametrizes $dlv$ for $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ in $dlv^*$.

    Applet loading

    Applet loading

    A change of variables for an electrode tip domain. A change of variables $cvarf$ maps a rectangular solid $dlv^*$ (first panel) onto the electrode tip $dlv$ (second panel). You can explore the mapping by moving with the mouse the red point in $dlv^*$, which represents the point $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$, or the point blue point in $dlv$, which represents the point $(x,y,z)$. When you move one point, the other point moves to reflect the mapping so that $(x,y,z)= cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$.

    Step 2: Compose function $g$ with change of variables function $cvarf$.

    Since it is so late after you finished finding $cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ and you are tired, you almost start to integrate $g$ directly over the solid $dlv^*$. Fortunately, you realize that such a procedure doesn't make sense because $g$ is a function of $(x,y,z)$ and hence is defined over the electrode tip $dlv$. Since it is not a function of $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$, you can't integrate $g$ over the solid $dlv^*$ in $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$-space. At this point, you are too tired to figure out what you were supposed to do, so you go to bed without finishing your calculation of what the total charge on the electrode would be. You sleep fitfully, dreaming of electrodes that were charged to dangerous levels attacking you.

    The next morning, you wake up still groggy, but immediately realize the solution to your problem. Although $g(x,y,z)$ is defined only on your electrode $dlv$, you can simply compose $g(x,y,z)$ with $cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ to obtain the function $g(cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv))$ that is defined in terms of $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$. For a given point $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ (shown by the red point, above), the composition $g(cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv))$ gives the density at the point $(x,y,z)=cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ (shown by the blue point, above) on the electrode $dlv$. By integrating $g(cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv))$ over the solid $dlv^*$ in $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$-space, you will integrate $g(x,y,z)$ over the solid $dlv$ and compute the total charge. You feel pretty smug that you had this realization even before breakfast and coffee.

    Step 3: Include a factor to account for change in volume

    Unfortunately, you are still too groggy after your fitful sleep to remember everything you learned in multivariable calculus. You completely forget that $(x,y,z)=cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ will change volume in $dlv^*$ compared to volume in $dlv$. Without compensating for this effect of the map $cvarf$, your calculations assume that volume in $dlv$ is the same as volume in $dlv^*$.

    Glancing at the above diagram is enough to guess what the result of this error might be. The volume of $dlv^*$ is larger than the volume of $dlv$. Remember that total charge equals charge density times volume. If one uses the correct charge density $g$ of the electrode but multiplies by volume in $dlv^*$ rather than volume in $dlv$, the calculation for the total charge should be larger than the correct answer. If, for example, $dlv^*$ was uniformly twice as large as $dlv$, then this incorrect calculation for total charge would give an answer that was twice the actual value.

    Not realizing this mistake, you proceed with your incorrect calculation and integrate $g(cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv))$ over $dlv^*$ without compensating for change in volume. Your result makes you so upset that you kick the table in anger, hurting your foot and spilling your coffee all over your calculations. But at that point, you don't care. You rip up your coffee-soaked notes and limp back to bed to cry. Your design is useless. The total charge on your electrode is much too large. Your hard work is more likely to fry people's brains than help them overcome epilepsy. Or so you think.

    Once you stop crying, you discover that your throbbing foot has helped lift your grogginess and your mind is actually becoming clear. Finally, you remember the strict admonition of your calculus professor to never forget to compensate for change in volume when changing variables. You realize that maybe your electrode won't cook people's brains and you might be able to salvage your design.

    You grab a fresh piece of paper, race back to your table, and find a dry spot on your table to work. You first sketch the following diagram to show how dividing $dlv^*$ into little boxes divides $dlv$ into small pieces. The diagram helps you visualize how changing variables changes volume. You see that, especially around the critical tip of the electrode, the volume in $dlv$ is much smaller than the volume in $dlv^*$. This gives you hope that less charge may build up on the electrode than you originally calculated.


    Videoya baxın: Test düsturu.1-74 (Oktyabr 2021).